[금융공학] 금융공학 기초 개념 (기초통계학)

금융공학 공부를 이제 막 시작하는 분들은 기초통계학에 대한 개념만 이해하면 공부를 하는데 있어서 수월합니다.

금융공학 공부를 하기 위해서 알아두어야 할 기초통계학 개념은 평균, 분산, 표준편차, 베르누이 시행, 이항분포,정규분포, 브라운 운동 등이 있습니다.

 

그럼 통계학의 기초 중에 기초라고 할 수 있는 평균, 분산, 표준편차에 대하여 알아 보겠습니다.

 

서울대학교 금융공학개론 수강생들 중 1학년 학생들 (5명)의 중간고사 성적은 다음과 같다고 가정을 하겠습니다.

 

성적 평균

★ 점수 80, 84, 82, 86, 88 (이 학생들의 평균은 얼마일까요?)

 

(80 + 84 + 82 + 86 + 88) / 5 = 84점입니다. 여기까지 해결하는 과정과 해결방법은 쉽습니다.

 

그렇다면 분산은 얼마일까요? 분산의 개념에 대하여 헷갈리는 사람들이 어느 정도 있을 것입니다.

 

사례에서의 분산은 학생들의 점수가 평균점수로부터 어느 정도 흩어져 있는가를 나타내주는 지표입니다. 각 학생들의 점수와 평균점수의 차를 제곱해 다 더한 값을 평균한 값이 바로 분산입니다.

 

{ (84-80)^2 + (84-84)^2 + (84-82)^2 + (84-86)^2 + (84-88)^2 } / 5 = 8

 

즉 분산은 약 8가 됩니다. 분산을 구했다면 표준편차를 구하는 방법도 어렵지 않습니다. 표준편차는 분산의 제곱근이기 때문입니다. 8의 제곱근은 √8이며, √8 (혹은 2√2)이 바로 학생들 성적 표준편차가 되는 것입니다.

 

표준편차는 금융공학에서 굉장히 중요한 개념입니다. 왜냐하면 표준편차는 바로 기초자산 가격의 변동성(Volatility)을 의미하기 때문입니다. 뒤에서 자세히 설명을 하겠지만, 변동성은 파생상품 중에서 특히 옵션의 가격을 결정짓는 가장 중요한 변수이기 때문입니다. (콜옵션이든 풋옵션이든 변동성이 커질수록 옵션가격은 상승하게 됩니다.) 여기까지 설명을 이해하는데 큰 어려움이 없었다면 기본적인 통계학 지식은 갖추었다고 할 수 있습니다.

 

위에서 다루었던 평균, 분산, 표준편차와 다르게 베르누이 시행, 이항분표, 정규분포, 브라운 운동 등은 이름만 들어도 흰 머리가 저절로 나는 개념들 일 것입니다. 하지만 핵심만 이해하여 어떻게 응용되는지 안다면, 금융공학을 공부하는 데 있어서 어려울 것도 없습니다.

 

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※ 베르누이 시행

 

예를 들면 베르누이 시행은 일명 '모 아니면 도'와 같은 것입니다. 즉 결과값이 딱 두 가지밖에 없으므로, 각 결과값이 나올 확률은 1/2(50%)가 되는 것입니다. 마치 동전을 던졌을 때, 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률이 똑같이 1/2(50%) 인 것이랑 똑같은 개념입니다.

 

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Binomial Distribution

※ 이항분포

 

그러면 이항분포는 또 어떤 개념을 가지고 있을까요?

이항은 말 그대로 두 개의 항을 의미합니다. '이것 아니면 저것인 분포'라는 말입니다. '이것 아니면 저것' (앞면 아니면 뒷면)은 베르누이 시행과 같습니다. 즉 베르누이 시행을 여러 번 반복 시행해서 나타난 분포가 바로 '이항분포'입니다.

 

 

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Normal Distribution

※ 정규분포

 

정규분포는 이항분포랑 비슷해 보이기도 합니다. 왜냐하면 같은 분포의 범주에 들어가기 때문입니다. 이항분포를 따르는 확률변수의 시행 횟수를 무한정 반복하면 (즉 베르누이 시행을 무한정 반복하면) 바로 정규분포가 됩니다. 정규분포는 우리가 일반적으로 알고 있는 분포입니다. 가운데가 볼록하고 좌우가 대칭인 반듯한 산 모양의 분포가 바로 정규분포입니다.

 

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브라운 운동 (주식시장 적용 예)

※ 브라운 운동

 

정규분포에서 한 걸음 더 나아간 것이 바로 브라운 운동(Brownian Motion)입니다. 브라운 운동은 원래 물리학에서 나온 개념입니다. 물리학에서는 작은 입자의 불규칙한 운동을 브라운 운동이라고 부릅니다. 금융공학에서의 브라운 운동은 정규분포하고도 밀접한 관련이 있습니다. 시간의 개념이 포함된 정규분포를 브라운 운동이라고 합니다. 주식가격을 예로 들자면, 주식가격은 시간의 흐름에 따라 변하는데 특정한 두 시점 간의 주식가격 차이는 정규분포를 따른다는 것입니다. 이럴 경우, 시간 간격이 짧을수록 주식가격의 변화도 커진다는 것이 브라운 운동의 핵심입니다.

 

상식적으로 이해해도 시간의 간격이 길어진다 가정하였을때 주식가격의 변화 가능성은 커집니다. 왜냐하면 주가지수는 경제를 기반으로 계속 변하기 때문입니다. 또한 시간이 길어지면 불확실성과 변동성은 커지기 마련입니다. 결국 아주 간단한 얘기를 복잡하게 표현한 것이 바로 브라운 운동이라고 할 수 있습니다. 이러한 복잡하게 보이는 브라운 운동을 이해한다면, 나중에 설명하게 될 옵션가격 결정 이론인 블랙숄즈 모형을 쉽게 이해하는데 있어 도움이 될것입니다. 평균, 분산, 표준편차의 개념과 공식을 완전히 숙지했고, 베르누이 시행, 이항분포,정규분포, 브라운 운동 등의 기본적인 개념을 이해했다면, 본격적인 금융공학 공부에 필요한 통계학적 기초를 충분히 갖추었다고 볼 수 있습니다.

 

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